El número de Reynolds (III): Copos de Koch y superfluidez

En esta tercera entrega sobre el número de Reynolds voy a hablar de los efectos de escala.

Antes de empezar, echad un vistazo a la siguiente animación:

Mira a la imagen fijamente durante un minuto...

Ahora mandame todo tu dinero.

Como muchos habréis reconocido, se trata de un zoom del famoso copo de nieve de Koch. La idea del zoom no es mía, si buscáis veréis animaciones similares a esta en otros sitios. Mi aportación en este caso se limita a ponerle motion blur (y, accidentalmente, ese movimiento a trompicones).

Ahora imaginad que ese copo de Koch representa una costa. En cada una de las infinitas bahías que van apareciendo podemos imaginar un remolino girando en su interior. Remolinos cada vez más pequeños según vamos acercándonos.

¿Qué es lo que hace que esta situación sea irreal?

Bueno, en primer lugar está el hecho de que la materia no es continua. Llegado un momento nos toparemos con los átomos y la situación cambiará completamente. Una situación así sólo puede darse en el caso simplificado de que supongamos que la materia es continua.

El caso es que esa es, precisamente, una de las primeras simplificaciones que hacemos al derivar las ecuaciones de Navier-Stokes, que los fluídos son continuos: las ecuaciones nos permiten, en principio, realizar zooms indefinidos.

...Y sin embargo, las ecuaciones de Navier-Stokes predicen que los remolinos irán desapareciendo a medida que nos vamos acercando.

De nuevo, las ecuaciones de Navier-Stokes

Aquí están, sin más preámbulos, en su forma no dimensional:

Si definimos la vorticidad como el rotacional de la velocidad, \(\boldsymbol\omega = \nabla\times\boldsymbol u  \). Suponiendo que el fluído sea incompresible y la densidad constante podemos tomar el rotacional de la ecuación anterior y obtener:

\begin{aligned} \frac{\partial\boldsymbol\omega}{\partial t} =- \boldsymbol u\cdot\nabla\boldsymbol\omega +\frac{1}{Re}\nabla({\boldsymbol\omega}^2) \end{aligned}

Esta es la llamada ecuación de la vorticidad. La razón para usar ésta en lugar de la anterior es que en este caso las únicas variables que tenemos son la velocidad o sus derivadas (la vorticidad), ya que la gravedad y la presión se nos han ido al tomar rotacionales.

La ecuación está en forma no dimensional, lo cual es una forma un tanto extraña de decir que está en unas unidades que no son fijas, sino dependientes del problema. En un caso como el del zoom al copo de Koch, las únicas varas de medir longitudes que tenemos deben estar relacionadas con las dimensiones de la imagen. Es importante darse cuenta de que no tenemos forma de saber en qué punto del zoom estamos, así que el tamaño de la imagen en un instante dado es realmente, la única cosa que podemos usar para medir.

Echando un vistazo a las ecuaciones, queda claro que casi todos los términos son invariantes bajo cualquier elección de unidades; la única cosa que puede variar es el número de Reynolds. Echémosle un vistazo:

\begin{aligned} \frac{1}{Re} =\frac{\nu}{UL} \end{aligned}

U suele definirse como una velocidad característica del flujo; pero eso no es una propiedad de las ecuaciones, sino de una solución de éstas. En lugar de eso, voy a definir U=L/T, donde L está relacionada con el tamaño de la imagen en un momento dado (pongamos que es su diagonal) y T es un tiempo característico por definir.

Como ya he dicho, para que la ecuación de la vorticidad sea invariante bajo cambios de escala tiene que darse que, según bajemos en el nivel de zoom, el número de Reynolds, se mantenga constante. Para que esto ocurra, es preciso que:

\begin{aligned} \frac{1}{Re} =\frac{\nu}{\frac{L^2}{T}} = const ~~\Rightarrow ~~ T=kL^2 \end{aligned}

Donde k es una constante. Es decir, las ecuaciones se mantienen invariantes ante cambios de escala de la forma:

\begin{aligned}x'=\lambda x ~~,~ t'=\lambda^2 t \end{aligned}

Esto es interesante, especialmente teniendo en cuenta que empecé este artículo con la intención de mostrar que las ecuaciones de Navier-Stokes no son invariantes ante cambios de escala y resulta que sí lo son, aunque no sea un cambio de escala lineal.

Dicho de otra forma, lo que quiere decir todo esto es que usando el cambio de escala propuesto, y usando las mismas condiciones iniciales y de contorno, obtendremos la "misma" solución.

He entrecomillado el "misma" porque la solución es numéricamente la misma, pero expresa resultados en distintas unidades. Supongamos que tenemos dos velocidades v numéricamente iguales, pero una para un dominio de longitud L y otra para un dominio de la mitad de longitud.

Si comparamos ambas velocidades, tendremos:

\begin{aligned} \frac{vLT^{-1}}{v0.5L (0.25T)^-1} = \frac{1}{2} \end{aligned}

Es decir, si usáramos las mismas unidades para medir ambas velocidades resultaría que aquellas medidas en el dominio pequeño serían el doble de grandes que las medidas en el dominio grande.

Para el caso del copo de Koch, esto significa que es imposible encontrar una solución real de flujo que sea autosimilar. Cualquier vórtice en una de las "bahías", tendría velocidades cada vez mayores en bahías cada vez más pequeñas, en una ascensión exponencial.

Lo anterior es válido para viscosidad \(\nu\) constante. Es interesante observar lo que ocurre para la viscosidad equivalente debida a la turbulencia, \(\nu_T\). En este caso, usando argumentos dimensionales tenemos que la viscosidad de remolino escala como:

\begin{aligned}  \nu_T = \alpha \frac{L^2}{T}  \end{aligned}

Es decir, que la viscosidad de remolino sí que escala de la forma adecuada, es únicamente la viscosidad molecular (cuya longitud característica está asociada a la agitación térmica) la que nos impide tener una solución autosimilar del flujo.

Afortunadamente, existe un fluído sin viscosidad. En ciertas condiciones el helio muestra superfluidez, así que la posibilidad de una solución autosimilar existe, al menos hasta llegar al nivel de los átomos.