También dije que, en probabilidades, a veces es más importante la pregunta que la respuesta.
Pues bien, ¿cuál fue la pregunta que me hice para llegar a esa cifra del 3%? Me cito a mi mismo:
¿Cuál es la probabilidad de que, tras 104 sorteos, un dígito haya salido 20 veces o más?¿Por qué 20 veces o más? Reconozco que una de las razones fue porque haciéndolo así aumentaba las probabilidades, aunque fuese por muy poco. Al fin y al cabo estaba intentando demostrar que no era raro que el cero hubiese salido tantas veces.
Me parecía la pregunta adecuada. Lo más general posible pero incluyendo la "rareza" propia del resultado. Pero lo cierto es que podía haber elegido responder la pregunta:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que, tras 104 sorteos, un dígito haya salido 20 veces?O incluso:
2. ¿Cuál es la probabilidad de que, tras 104 sorteos, el cero haya salido 20 veces?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que, tras 104 sorteos, un dígito haya salido más de 16 veces?Todas esas preguntas (y más) incluyen el resultado conocido: que el cero ha salido 20 veces en 104 sorteos. Todas ellas son válidas. Lo que debemos preguntarnos es ¿cuál de ellas es la que mejor responde a mi inquietud de si el cero ha salido muchas veces o no?
Podríamos pensar que la pregunta adecuada es la número 2, pero no es así. Para verlo pensemos en una pregunta similar:
¿Cuál es la probabilidad de que en un sorteo resulte ganador el número 23.594?La respuesta es sencilla, sólo una entre 100000. Sin embargo, sabemos que tiene que tocar un número. Es decir, hay un 100% de probabilidades de que resulte ganador un número que sólo tenía, en principio, una probabilidad entre 100000 de salir agraciado.
Dicho de otra forma. Una vez conocido el número ganador no tiene mucho sentido preguntarse qué probabilidades tenía ese número concreto de haber salido. De forma similar, no tiene mucha utilidad preguntarse por las probabilidades de que concretamente el cero haya salido tal número de veces como terminación.
Consideremos ahora la siguiente pregunta:
¿Cuál es la probabilidad de que, tras 104 sorteos, todas las terminaciones hayan sido pares?La respuesta a esta pregunta es: una entre \( 2^{104} \). Podríamos pensar que esta es una situación similar a la anterior y que como todas las diferentes combinaciones de par/impar son igualmente probables, el evento en el que todas las terminaciones son par es sólo uno más. ¿No es esta la misma situación que si jugáramos en una lotería con \( 2^{104} \) números? Al final un número tiene que ser el agraciado, todos son igualmente probables. De la misma forma, no tendría nada de raro que saliesen todo números pares en 104 sorteos.
Pero no es así.
En el primer caso estamos comparando la probabilidad de que salga un número en lugar de otro. Como ambos números tienen la misma probabilidad de ocurrir, no hay nada sorprendente en todo ello.
En el segundo caso estamos comparando la probabilidad de que sean todo pares con el resto de posibilidades. Es decir, 1 contra \( 2^{104}-1 \). La diferencia es abismal.
El caso en el que todas las terminaciones sean cero es un ejemplo de sistema ordenado. El resto de situaciones tienen diferentes grados de desorden.
La principal diferencia entre el orden y el desorden es que hay muchas más formas de desordenar algo que de ordenarlo. Esa es la razón por la que mi casa nunca parece estar ordenada aunque no paro de mover las cosas de un sitio para otro. Esa es, también, la razón por la que la entropia crece sin remedio. Hay muchísimos más estados de entropía alta que de entropía baja.
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| Tal vez si muevo esta camiseta... |
Volviendo a la pregunta original:
¿Cuál es la probabilidad de que, tras 104 sorteos, un dígito haya salido 20 veces o más?
¿Es la adecuada? Mi intuición me dice que sí, pero no sé cómo demostrarlo.
¿Alguna idea?
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