El sorteo de El Niño

Hoy me he encontrado un artículo en El País sobre el próximo sorteo extraordinario de lotería de El Niño. Lleva el título de "El cero, en número más afortunado de El Niño" e incluye información del tipo:

A El Niño le gusta el cero, que es la terminación más afortunada a lo largo del sorteo. El número más bajo de la tabla ha caído en 20 ocasiones, seguido del 9 y el 7 que han salido 13 veces.

El artículo cita estudios sobre las diferentes frecuencias de terminaciones en el sorteo y comparaciones con el sorteo extraordinario de Navidad y los respectivos "gustos" de cada sorteo por uno y otro número.

No niego que hacer estudios de frecuencias puede tener su interés. Uno puede dudar de que todas las bolas sean realmente iguales y quizás sea posible que unos números ocurran más a menudo que otros (aunque se toman muchas medidas para evitarlo). También es posible que los sorteos estén amañados y el amaño genere números que no sean totalmente aleatorios.

Y tampoco diré que es siempre estúpido escribir noticias sobre los números de la lotería. Si en una edición el primer premio cae en el 000000 (por decir algo), comprendería que escribieran una noticia sobre ello. No importa que "todos estén en el bombo", un hecho así sería noticiable por varias razones.

Pero se me escapa cómo alguien puede considerar que escribir un artículo sobre qué terminaciones han ocurrido más a menudo. Supongo que estamos en vacaciones y hay que rellenar el periódico para poder incluir la publicidad contratada.

La otra posibilidad era un artículo sobre qué números jugaban los Mayas.

Quizás el artículo quiera dar a entender que es mejor comprar números terminados en cero, ya que han salido mucho más a menudo que otros. Esto tendría lógica si realmente ese número fuera más frecuente de lo esperado, lo que podría ser indicio de algún sesgo.

En principio podría parecer que sí. La teoría dice que lo más probable es que las terminaciones se repartan más o menos igual entre las diez cifras. Es decir, tras diez sorteos nos debemos esperar que cada dígito aparezca como terminación más o menos diez veces. Ha habido 104 sorteos en total, así que el que el 0 haya salido veinte veces parece que se sale de lo normal. De la misma forma, el 3 ha salido en sólo seis ocasiones. La mitad de lo esperado.

¿O no?

En asuntos de probabilidades a veces es más importante la pregunta que la respuesta. Si nos hacemos la pregunta de cuál es la distribución de dígitos más probable el resultado es que cada uno salga N/10 veces, siendo N el número de sorteos.

Pero si nos preguntamos: Tras N sorteos, ¿cuál es el valor más probable para el dígito que salga más veces? la respuesta es muy distinta.

Este cálculo no es fácil de realizar analíticamente y yo ni lo he intentado. He puesto a Matlab a trabajar y las respuestas son:

Valores esperados tras 104 sorteos:

Veces que sale la terminación más   frecuente: 15.65 (∓1.8) veces
Veces que sale la terminación menos frecuente: 5.74  (∓1.3) veces

Evidentemente, la terminación más frecuente no tiene por que ser el cero, lo que dicen estos datos es que tras 104 sorteos, lo más probable es que haya un dígito que haya salido 16 veces y otro que sólo haya salido 6 veces. Bastante cerca de lo ocurrido en realidad.

Y sin embargo, aunque cerca, hay diferencia entre 16 y 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que, tras 104 sorteos un dígito haya salido 20 veces o más?

Pues, al parecer, eso sólo pasa en un 3% de los casos. ¡Al final va a resultar que sí que era noticia!