Desahogo matemático

Acabo de tener la típica reunión con mi director de tesis (en adelante "el chino") en la que nos hemos gritado mutuamente (algo relativamente normal) y necesito desahogarme, así que voy a hablar de un par de afirmaciones matemáticas cuestionables que he oído a muchos profesores (entre ellos al chino).

La primera es algo que asocio con los ingenieros porque sólo se lo he visto hacer a ingenieros, aunque admitiré de buena gana estar equivocado si alguien me muestra pruebas. Es una queja que algunos me habrán oído ya, comienza cuando alguien escribe algo así en la pizarra:

Donde \(\phi\) es una magnitud cuya variación en \(x\) queremos conocer. Obviando el hecho de poner \(dx\) como si fuera un infinitesimal (Leibnitz estaría orgulloso), el problema es que luego dicen:

Restando el valor la izquierda \(\phi\) del valor a la derecha \(\phi + \frac{\partial \phi}{\partial x} dx \) y dividiendo por el intervalo \(dx\), obtenemos que la variación es  \(\frac{\partial \phi}{\partial x} \)

¡Y se quedan tan anchos! Muchas veces he tratado de explicar que ya están suponiendo que la variación es esa cuando hacen el dibujo, y que hacer el proceso de restar y luego dividir no hace más que recuperar la suposición inicial. No han hecho más que dar una vuelta para llegar a algo que ya sabían.

Lo curioso es que hacerlo bien no es más difícil, todo lo contrario:

En este caso, la variación es \( \frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x)}{\Delta x}\), tomando el límite y aplicando la definición de derivada parcial llegamos al mismo resultado, esta vez de verdad.

Que conste que no me parecía mal que dijesen el resultado final sin más, lo que me molesta es que den esa "vuelta" para nada.

***

Otra cosa que he oído muchas veces es eso de "si tienes n incógnitas necesitas n equaciones para resolverlas". De hecho ese fue el detonante de una discusión con el chino.

No recuerdo de qué problema hablábamos, pero si recuerdo que me salió con eso y como ya me tenía de mal humor le dije con sequedad que eso no era cierto. Se quedó mirándome con odio un momento y me preguntó "¿cómo que no es cierto?" Con tranquilidad, escribí lo siguiente en la pizarra:

\begin{aligned} x^2+y^2=0 \end{aligned}

"Dos incógnitas, una ecuación y una única solución, x=y=0", dije sabiendome ganador.

Se quedó pensando y me dijo "hombre claro, pero esa es la solución trivial". No me esperaba que me saliera con esas, de haberlo sabido le habría escrito:

\begin{aligned} x^2+y^2+3-2x-4y=0 \end{aligned}

Que no es otra cosa que \( (x-1)^2+(y-2)^2=0\) camuflado y que, evidentemente, tiene solución única, x=1, y=2. No sé si consideraría que esa solución también es "trivial", aunque según esa lógica, todas las soluciones lo son. En cualquier caso, también me dijo que no era una ecuación que tuviese sentido físico, y que a menos que tuviese un ejemplo de una, era mejor que me callase (más o menos con esas palabras).

Ahí sí que no supe qué decirle. No conozco sistema de ecuaciones que provenga de un problema físico real que tenga más incognitas que ecuaciones y que tenga solución única ¿alguna idea?