El número de Reynolds (II): difusión superlumínica

En la entrada anterior hablé de los procesos de advección y difusión de un contaminante, la diferente importancia de cada uno y de cómo el número de Péclet (Reynolds) muestra la importancia de cada uno.

Al final había comenzado a hablar de cómo las ecuaciones de Navier-Stokes (NS) no son más que ecuaciones de conservación del momento con sus términos de advección y difusión, cuya importancia relativa está dada por el número de Reynolds.

En esta entrada voy a volver un momento atrás y comentar algo que se me pasó por alto en la anterior. No es que no me acordase de contarlo sino que no se me ocurrió hasta tiempo después.

Difusión superlumínica

Voy a empezar con un gráfico similar al de la entrada anterior, pero en esta ocasión he añadido una línea que representa un punto que se aleja del punto de interés a la velocidad de la luz.

Un físico no se encuentra cómodo hasta que no mete la velocidad de la luz en algún sitio.

Como dije anteriormente, para cualquier velocidad, existe un radio en las cercanías de cualquier punto, dentro del cual la difusión es la forma más rápida de "transportar información". Evidentemente, esto no puede ser correcto físicamente, es sólo un resultado de nuestro modelo de la difusión/viscosidad.

Esto también explica algo que afirmé en la anterior entrada, pero que no me molesté en argumentar: que en escalas pequeñas la difusión deja de ser una aproximación válida.

¿Cómo de pequeñas? Veámoslo. Vamos a suponer que hablamos de agua y de viscosidad. ¿A que distancia máxima la difusión es más rápida que la velocidad de la luz?

Una forma de hacerlo es calcular la distancia L que hace que el número de Reynolds sea 1 para la velocidad de la luz:

\begin{aligned} Re = 1 = \frac {Lc}{\nu} \end{aligned}

Usando valores estándar:

\begin{aligned} L = \frac {\nu}{c} = \frac {10^{-6} (m^2/s)}{3~10^5 m/s}\approx 10^{-11} m \end{aligned}

Es decir, más o menos la décima parte de un átomo de Helio. Parece que esto no nos va a dar problemas, al menos para el caso del agua. La brea tiene una viscosidad que es casualmente \(10^{11}\) veces mayor que la del agua, así que en ese caso, el radio es del orden de un metro. ¿Cómo tendrán en cuenta eso en las ecuaciones?

Me habrán dado un Ig-Nobel por parsimonioso, pero la difusión va que se las pela

En realidad, la difusión no puede ser más rápida que el proceso físico que la crea, que no es otro que la agitación térmica de las moléculas del agua. Nos quedamos sin ver radiación Cherenkov asociada a la difusión.

Sin embargo, la razón por la que decidí escribir esta entrada no es sólo porque me pareció curioso. Hay un motivo más fundamental.

Una de las cosas que he oído repetir como un mantra desde que llegué a Cornell es: "una vez que escojas un modelo de la realidad, olvídate de la realidad". La idea es que una vez que has hecho una serie de hipótesis simplificadoras no es lógico usar argumentos que caen fuera de esas simplificaciones.

En este caso, una de las hipótesis simplificadoras es la hipótesis del continuo: todas las magnitudes consideradas son continuas a todos los efectos. Por lo tanto, debemos olvidarnos de moléculas, agitación térmica y demás.

Es decir, la hipótesis del continuo implica la transferencia de información a velocidades mayores que la de la luz. Es parte de nuestro modelo y tenemos que vivir con ello. Al fin y al cabo, el suponer que un fluído es incompresible también tiene la misma implicación, y nadie se queja. Qué le vamos a hacer.