En esta primera entrada voy a hablar de conceptos básicos para luego ir entrando en materia. De hecho, antes de hablar del número de Reynolds en sí, voy a tratar un tema similar pero más sencillo.
Difusión y advección de sustancias
Supongamos que tenemos dos situaciones diferentes, en una tenemos agua inmovil, en otra agua moviéndose a velocidad constante \(u\). En el instante t=0 ponemos una gota de sustancia en un punto y esperamos a que pase un cierto tiempo. Supongamos además que la sustancia del primer caso tiene un coeficiente de difusión en el agua de \(\nu\), mientras que la del segundo tiene un coeficiente nulo (no se difunde).
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| Para los físicos, advección = convección. Para los ingenieros, sustancia = contaminante. Para todos 2D=3D. |
La figura muesta el comportamiento de la sustancia en ambos casos. En el primero se diluye debido a la agitación térmica de las moléculas de agua, en el segundo avanza sin cambiar de forma a la misma velocidad que el agua. La ecuación que rige ambos casos (aunque no es necesaria para entender lo que sigue) es:
\begin{aligned} \frac {\partial c}{\partial t} + \nabla \cdot (c\mathbb{u}) = {\nu}\nabla^2c \end{aligned}
Una forma de comparar ambas situaciones es estudiar cuanto avanza la sustancia en un tiempo \(t\) desde el punto en el que fue depositada. En el caso de la difusión es necesario hacer una suposición adicional, así que definiré el avance como la distancia a la que la concentración es igual a la mitad de la concentración en el centro.
En el caso de la advección, claramente la sustancia avanza a una velocidad \(u\) o, en términos de la distancia recorrida \(L_{adv}=ut\).
No voy a entrar en detalles de cómo se calcula, pero en el caso de la difusión la distancia recorrida es \(L_{dif}=\sqrt{4\nu t}\). Intuitivamente, es fácil ver que la difusión es menor cuanto más aumenta el tamaño de la mancha y disminuyen los gradientes, así que una dependencia con la raíz cuadrada del tiempo parece razonable.
La siguiente gráfica muestra la comparación entre ambos avances:
Como puede verse, una consecuencia interesante de que la difusión avance con la raíz cuadrada del tiempo es que existe un radio \(L_0(u,\nu)\) en el cual la difusión es más rápida que la advección. Esto es cierto independientemente de que velocidades o coeficientes de difusión tengamos; siempre habrá un valor de \(L_0\) dentro del cual la difusión avanza más rápido que la advección. Si pensamos en términos de información, todo punto dentro de ese radio recibirá noticia de la sustancia depositada más rapido debido a la difusión que a la advección.
Para tener en cuenta este efecto, se suele usar el número de Peclet;
\begin{aligned} Pe_L=\frac {LU} {\nu} \end{aligned}
Que no es más que un número de Reynolds aplicado a la difusión de sustancias en lugar de la difusión del momento (viscosidad). Como yo he usado la misma letra \(\nu\) que se suele usar para la viscosidad, ambos números tendrán la misma expresión.
También lo he hecho porque nunca me ha gustado dar nombres diferentes a cosas similares (¿series de Taylor y McLaurin?). Pienso que no hace más que confundir, el número de Peclet no es más que una versión del número de Reynolds.
Siguiendo con lo que estábamos, en la expresión anterior \(L\) es una longitud, digamos que entre el punto donde se ha vertido una sustancia y un punto de interés, \(U\) una velocidad característica del flujo de agua y \(\nu\), como ya he dicho, el coeficiente de difusión. Para entenderlo mejor podemos usar las expresiones anteriores para calcular el tiempo que tarda en avanzar la concentración desde el punto inicial a un punto a una distancia \(L\):
\begin{aligned} t_1 = \frac {L}{U},~t_2 = \frac{L^2}{4\nu} \end{aligned}
Dividiendo \(t_2\) entre \(t_1\):
Es decir, el número de Peclet es una relación entre los tiempos que tarda en llegar la información. Si es mucho menor que uno significa que en nuestro problema, la difusión es más importante que la advección y su es mucho mayor que uno, todo lo contrario.
Si utilizamos \(L\) y \(U\) para adimensionalizar la ecuación de advección difusión obtendremos:
\begin{aligned} \frac {\partial c}{\partial t} + \nabla \cdot (c\mathbb{u}) = \frac{1}{Pe_L}\nabla^2c \end{aligned}
Es decir, el número de Peclet indica la importancia del término difusivo respecto al resto de términos.
Antes de pasar a otra cosa, quiero hacer un último comentario. La definición del número de Peclet (y del número de Reynolds) se basa en una cantidad objetiva \(\nu\), otra más o menos objetiva \(U\) y finalmente una que es subjetiva (en el sentido de que tenemos libertad para elegirla) \(L\). Esto tiene utilidad desde el punto de vista práctico, ya que en la realidad solemos estar interesados en calcular la difusión y advección entre el punto de vertido y la zona de interés.
Pero a nivel de procesos físicos, no existe una \(L\) única. La sustancia está, en cada punto y a cada instante, sujeta a procesos de advección y difusión locales, sin que la distancia \(L\) tenga ningún significado físico.
Más aún, podríamos argumentar que en cada punto, la difusión es infinitamente más importante que la advección (ver la gráfica anterior). ¿Cómo es posible que exista advección si localmente la difusión es infinitamente más importante?
Parte de la respuesta es que la difusión es siempre una aproximación (no es válida en un entorno infinitesimal), otra parte es que la ecuación es lineal (así que podemos ver ambos procesos como independientes) y luego está la parte de la respuesta que desconozco.
Pero no hablemos de cosas tristes. Quedémonos con la idea de que en cada punto existe un radio \(L_0\) dentro del cual la difusión es más importante que la advección.
Las ecuaciones de Navier-Stokes
La ecuación de conservación del momento, en forma no dimensional, puede escribirse así:
\begin{aligned} \frac {\partial \mathbb{u}}{\partial t} + \nabla \cdot(\mathbb{u}\mathbb{u}^T) = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{1}{Re} \nabla^2(\mathbb{u}) + \mathbb{g} \end{aligned}
Donde \(Re=\frac {LU} {\nu}\)
Como es sabido, esta ecuación no es más que una ecuación de advección-difusión para el momento, más un par de términos adicionales: presión y gravedad. En esta ocasión, el número de Reynolds sustituye al número de Peclet, que como ya había dicho, son más o menos la misma cosa.
Continuara...
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