Imaginad que queremos construir una regla pero que, por alguna razón, tenemos un límite en el número de marcas que podemos hacer en ésta. ¿Cuál sería la forma óptima de situar las rayas?
La respuesta a esta pregunta es una regla de Golomb. La siguiente figura muestra una de orden 4:
Como se puede ver, en este caso con sólo cuatro marcas podemos medir seis distancias diferentes. De hecho, todas las distancias enteras entre 1 y 6 están incluidas. Cuando esto ocurre se dice que es una regla de Golomb perfecta.
Lamentablemente, para reglas mayores que 6, no existe ninguna regla de Golomb perfecta, a lo más que podemos aspirar es a reglas de Golomb optimas (hay varias definiciones de óptimo), para lo cual no existen algoritmos eficientes, que se sepa.
¿Qué tiene esto de interesante? Por un lado me resulta curioso que no exista un buen algoritmo para generarlas. Hubiera jurado que usando algún tipo de potencia de dos en la localización de las marcas (inicialmente pensé en algo como 1,2,4,8...) se conseguiría, pero no, no es tan sencillo.
Por otro lado, tengo la impresión de que las reglas de Golomb tienen que tener alguna utilidad. Wikipedia dice que se usan en códigos de correción de errores y para determinar puntos de colocación de antenas, así que me puse a pensar si se me ocurría alguna otra aplicación. Al final pensé en algo que requiere una digresión...
Turbulencia y autocorrelación
No voy a ponerme aquí a hablar de la turbulencia en detalle (entre otras cosas porque si me pusiera me daría cuenta de que no tengo los conceptos lo suficientemente claros como para explicarlos). Sólo voy a hablar de la parte relacionada con las reglas de Golomb.
Lo primero que uno piensa sobre la turbulencia es que es un fenómeno más o menos aleatorio. Y eefectivamente, en muchos aspectos así es. La clave está en ese "más o menos". Si uno se fija en un flujo turbulento se ve que está formado por "remolinos" de diferentes tamaños, y que pese a que en conjunto tenemos una estructura aleatoria, localmente las velocidades entre puntos cercanos tendrán una cierta correlación estadística. Dicho de otra forma, cuanto más cerca estén dos puntos en el fluído, más probable será que ambos formen parte del mismo remolino turbulento y, por tanto, más probable será que las velocidades del fluido en ambos puntos estén relacionadas.
De hecho, gran parte de lo que se sabe sobre turbulencia no son más que expresiones de correlación temporal y espacial de las diferentes componentes de la velocidad de un fluido. La siguiente gráfica muestra un ejemplo típico. En ordenadas tenemos la correlación y en abcisas la separación entre los puntos:
Un valor de 1 significa que las velocidades son iguales (los dos puntos son el mismo), un valor negativo que existe una correlación, pero con el signo cambiado (podemos imaginar que los puntos están en lados opuestos de un remolino) y cero significa que no hay correlación estadistica entre ellos.
Una de las cosas que se puede hacer, tanto con modelos numéricos como con datos experimentales, es estudiar la correlación entre componentes de la velocidad. De esta forma podemos obtener otras magnitudes relacionadas con la turbulencia. Por simplicidad, supongamos que queremos hacerlo en un laboratorio.
La forma trivial de hacerlo sería colocar N sensores de velocidad en posiciones \(x=n\Delta x \), donde \(n=0,1,2,...N-1\). De esta forma tendríamos N-1 distancias para construir una gráfica como la de arriba.
El caso es que lo único que nos importa al hacer las correlaciones es la distancia entre los sensores. Aquí es donde entran las reglas de Golomb, podemos conseguir muchos más puntos usando el mismo número de sensores. Mi estimación es que para conseguir N distancias es necesario, aproximadamente, \(\sqrt{2N}\) sensores.
Lo mismo es aplicable a modelos numéricos o a otros métodos experimentales como el PIV.
¿Alguna otra idea?
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